Laboratoire de Mathématiques J.A. Dieudonné, Nice - France

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Chute d’un cylindre inhomogène sur un plan incliné

P. Coullet, J.M. Gilli, M. Monticelli, J.C Noiret, J.P. Romagnan (2005)

1er janvier 2005

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La perte d’équilibre d’un cylindre non-homogènes sur un plan incliné fournit un exemple trés simple de bifurcation.
Les équilibres des machines simples ne sont pas robustes, puisqu’ils n’existent que lorsque les paramètres qui les caractérisent sont ajustés trés précisement. Cette absence de robustesse est à l’origine de l’interet même de ces machines. Considérons par exemple un cylindre homogène posé dur un plan horizontal. Si l’on néglige les frictions statiques, il pourra étre déplacé sans effort

puisqu’il n’est alors soumis à aucune autre force. Si l’on incline légèrement le plan, le cylindre, soumis à la gravité, perd son équilibre et se met a rouler. Cependant la force nécessaire pour maintenir le cylindre en équilibre est d’autant plus faible que l’inclinaison du plan est faible. Les équilibres naturels sont généralement robustes, ils persistent lorsque l’on varie leurs paramètres. Ainsi une goutte attachée à un robinet qui équilbibre son poids avec la tension de surface existe pour tout une gamme de paramètres extérieurs (tension de surface, gravité, volume, rayon du robinet, masse volumique du fluide). Cependant, elle cesse d’exister lorsque ces paramètres atteignent des valeurs critiques. La perte de robustesse de l’équilibre, c’est à dire sa disparition dans ce cas, est une bifurcation générique. L’absence de robustesse est souvent lié à une symétrie particulière du système considéré. Ainsi pour le plan horizontal, l’existence d’une famille continue de solutions d’équilibres obtenue l’un par rapport à l’autre par une rotation du cylindre est une conséquence directe de la symétrie du cylindre par rapport a son centre. Si l’on déplace le centre de gravité du cylindre en plaçant une masse excentrée, cette symétrie est alors brisée. L’équilibre devient alors robuste et peut « résister » jusqu’a une valeur critique de l’inclinaison.