Cet article peut se lire sur deux niveaux. Le texte principal ne contient presque pas de formules mathématiques. Les blocs dépliants contiennent des formules, précisant la manière dont les simulations ont été faites, et donnant des informations sur les équations aux dérivées partielles correspondant aux modèles discutés.

Si on jouait aux billes ?

Considérons un système constitué de billes reliées par des ressorts. Chaque bille est libre de se déplacer dans la direction $y$, mais sa position $x$ est fixée. Les positions $x$ des différentes billes sont régulièrement espacées, comme ceci :

Chaque bille est reliée par des ressorts à ses deux voisines [1]. La longueur au repos des ressorts est supposée plus courte que la distance minimale entre les billes. Ainsi les billes auront tendance à aligner leurs positions $y$. Admettons de plus que les billes se trouvent dans un milieu visqueux, de l’huile par exemple, de sorte qu’elles ne vont pas se mettre à osciller autour d’une position d’équilibre (on parle de dynamique sur-amortie [2]).

Imaginons maintenant que nous déposions la chaîne de billes sur un morceau de tôle ondulée à deux creux, ou rigoles, parallèles à l’axe $x$ :

Quel va être le mouvement de la chaîne ? Chaque bille cherchera à aller au fond de l’une des deux rigoles sous l’effet de la gravité, mais elle est également soumise à l’effet des ressorts la connectant à ses deux voisines. Selon les cas, ces deux effets peuvent s’ajouter ou au contraire entrer en compétition.

Regardons cette simulation, faite avec une chaîne de 128 billes. On part d’une configuration où toutes les billes ont été placées au hasard, de manière indépendante, plus ou moins près de l’une ou l’autre rigole de la tôle. La simulation montre le plan $x$—$y$ : les fonds des deux rigoles sont représentés par les lignes horizontales en haut et en bas des images, la bosse par la ligne du milieu.

Nous constatons que les billes tendent à former des amas : les billes d’un amas partagent la même rigole dans la tôle ondulée. Ces amas sont séparés par ce que nous appellerons des interfaces : ce sont les endroits où un ressort (ou parfois une bille) chevauche la bosse séparant les deux rigoles.

Les amas de faible taille ne survivent pas longtemps : ils disparaissent lorsque les deux interfaces qui les délimitent entrent en collision. La simulation, faite pendant un temps fini, ne permet toutefois pas de savoir si toutes les interfaces finiront par disparaître, ou si le système se stabilisera dans une configuration avec plusieurs amas.

Secouons le prunier

Observons maintenant ce qu’il se passe quand on agite le système de manière aléatoire. On s’attend à ce que cela favorise les configurations les plus stables, et donc que les petits amas disparaissent plus rapidement. C’est effectivement le cas, comme le montrent ces deux simulations :

Dans la seconde simulation, nous avons introduit un code couleur qui nous servira par la suite : le rouge et le bleu correspondent aux fonds des deux rigoles, le dégradé orange—jaune—vert à des positions intermédiaires. Ces couleurs sont reproduites dans la barre au bas de la simulation, donnant une autre manière de visualiser la disparition des amas. Ici les ressorts sont plus rigides, et l’on constate que les amas qui subsistent après un temps donné sont plus grands.

Précisons que l’agitation aléatoire à laquelle nous avons soumis les billes agit de manière indépendante sur chaque bille. On parle d’un bruit blanc spatio-temporel. Cette hypothèse est justifiée si par exemple l’agitation provient des molécules du fluide dans lequel baigne la chaîne. Si l’on avait agité toutes les billes de manière aléatoire mais synchrone, on aurait parlé d’un bruit blanc purement temporel.

Plusieurs questions se posent au vu des simulations. Comment la taille des amas évolue-t-elle au cours du temps ? Est-ce que toutes les interfaces finiront par disparaître ? Peut-on décrire le mouvement des interfaces au cours du temps ?

La figure suivante est un « diagramme espace-temps » d’une simulation (cette fois avec 1024 billes). L’espace est représenté horizontalement, le temps verticalement de haut en bas, et les postions des billes sont codées par des couleurs comme dans la dernière simulation. Les pointes des « stalactites » sont des collisions entre interfaces, qui correspondent à la disparition d’amas.

Le script ci-dessous, réalisé par Marc Monticelli et disponible sur le site Experimentarium Digitale, permet d’effectuer une simulation en temps réel. Choisissez des valeurs de la constante du ressort $k$ et de l’intensité du bruit, et cliquez sur Start. Vous pouvez modifier les valeurs des paramètres en cours de simulation. Le bouton Reset permet de réinitialiser le système.

Et en dimension supérieure ?

On peut aisément imaginer une généralisation de notre système, dans laquelle la chaîne (de dimension $1$) est remplacée par un « tapis » (de dimension $2$). Il suffit pour cela de disposer les billes selon un réseau carré, c’est-à-dire sur les sommets d’un quadrillage, et de les connecter par des ressorts le long des côtés du quadrillage. Chaque bille est donc reliée à $4$ voisines.

Les billes peuvent se déplacer perpendiculairement au plan du quadrillage, et ont une préférence pour se trouver dans l’un ou l’autre de deux plans parallèles au dessin ci-dessus (jouant un rôle analogue à celui des rigoles pour la chaîne de billes). Voici une simulation montrant le système en perspective. La taille du quadrillage est de $32 \times 32$. Comme dans la figure précédente, les couleurs codent les positions des billes : le bleu et le rouge correspondent à des positions préférées, le vert, le jaune et l’orange à des positions intermédiaires.

La simulation suivante montre le système vu de dessus. La taille du quadrillage est de $224 \times126$, et on ne représente plus des billes individuelles, mais seulement leur code couleur [4].

La dynamique est maintenant plus riche, car les interfaces ne sont plus des points isolés, mais des courbes. Ces courbes peuvent disparaître, mais avant cela elles semblent vouloir minimiser leur longueur et leur courbure : les parties d’interfaces courbées plus fortement s’aplatissent plus vite.

Voici à nouveau un script interactif du site Experimentarium Digitale, qui vous permettra d’explorer la dynamique en temps réel. Comprenez-vous l’influence du paramètre $k$ ? Et celle des conditions aux bords ?

On peut également imaginer un analogue de ce système en dimension $3$, même s’il est plus difficile à visualiser.

A quoi ça sert ?

Les simulations en dimension $2$ ne sont pas sans rappeler ce qui se passe lorsqu’on essaie de mélanger deux liquides non miscibles, comme l’eau et l’huile. Les deux liquides tendent à se regrouper, formant des régions de plus en plus grandes constituées soit uniquement d’eau, soit uniquement d’huile [5].

Il existe de nombreux systèmes présentant ce phénomène appelé séparation de phases. L’image suivante, par exemple, montre des photomicrographies d’acier (source : Wikipedia).

L’image supérieure montre de l’acier refroidi lentement. Les zones claires sont constituées de cémentite, qui contient des atomes de fer et de carbone, alors que les zones sombres sont constituées de ferrite, qui ne contient que du fer. Cémentite et ferrite sont deux phases favorisées par le matériau, car les atomes peuvent s’y arranger de manière à minimiser l’énergie, un peu comme les billes de notre premier modèle préfèrent se placer au fond des rigoles. Un alliage est rarement parfaitement stable, car les phases qui le composent tendent à se séparer. Heureusement pour les métallurgistes, cette séparation se fait tellement lentement que le matériau peut être considéré comme stable en pratique : on dit qu’il est métastable.

L’image inférieure montre de l’acier refroidi rapidement. Les atomes n’ont pas eu le temps de se réorganiser de manière stable, d’où la structure plus fragmentée de l’acier qui a une consistance plus dure mais plus cassante.

Des phénomènes similaires de séparation de phases peuvent être observés dans des modèles d’aimants, ou de morphogenèse (décrivant par exemple la formation de rayures ou de taches sur le pelage d’animaux pendant leur croissance).

Avec un peu d’imagination, on peut même voir dans notre système un modèle d’évolution d’opinions. Considérons un pays bipartite, comme les États-Unis. Les points bleus et rouges représentent les Démocrates et les Républicains convaincus, les points aux couleurs intermédiaires les indécis, avec un penchant plus ou moins fort vers l’une ou l’autre opinion. On suppose ici que chaque citoyen se laisse influencer par ses voisins immédiats, d’où la formation de régions dans lesquelles les citoyens partagent la même opinion. Qui gagnera les prochaines élections ?

Où sont les EDPS dans tout ça ?

Revenons à la chaîne de billes posée sur la tôle ondulée, en l’absence de bruit. Nous allons nous intéresser à ce qu’il se passe si le nombre $N$ de billes est très grand. Afin que la longueur totale de la chaîne soit constante, nous supposerons que les positions $x$ des billes sont séparées d’une distance $1/N$.

Les simulations suggèrent qu’on peut faire passer une courbe bien lisse par les billes (on appelle cela une interpolation). Au lieu de chercher à résoudre le système de $N$ équations différentielles ordinaires (EDO) décrivant le mouvement des $N$ billes, on peut essayer de décrire directement l’évolution de la courbe d’interpolation. L’interaction de chaque bille avec ses voisines se traduit alors dans l’équation par un terme dépendant de la courbure. L’équation qui en résulte est une équation aux dérivées partielles (EDP) [6], appelée équation d’Allen—Cahn.

Quel est l’intérêt de faire intervenir une EDP ? C’est qu’il est souvent plus facile d’étudier une EDP qu’un système d’un grand nombre d’EDOs couplées. L’équation d’Allen—Cahn, en particulier, est d’un genre particulièrement bien compris (appelé une EDP parabolique). Par exemple, Carr et Pego [CP]
ont montré que les seules solutions stables sont celles où toutes les billes se trouvent au fond de la même rigole, mais qu’il existe aussi des solutions métastables : celles-ci admettent des interfaces qui ne bougent quasiment pas pendant un temps extrêmement long. C’est une de ces solutions métastables qu’on voit dans la première simulation.

Considérons maintenant la chaîne de billes avec bruit. Son évolution est décrite par ce qu’on appelle un système d’équations différentielles stochastiques (EDS). Lorsque le nombre $N$ de billes devient très grand, il est naturel de se demander si l’évolution de la chaîne pourrait être décrite par une équation aux dérivées partielle stochastique (EDPS), c’est-à-dire une EDP avec un terme aléatoire.

Si vous êtes perdus dans les acronymes, le tableau suivant résume les quatre types d’équations différentielles que nous avons rencontrés. On considère que les équations aux dérivées partielles sont de dimension infinie, car il faut spécifier les valeurs des solutions en une infinité de points.

Il y a toutefois un problème important dans la définition même de solution d’une EDPS. Comme on le voit dans les simulations, sous l’effet du bruit la chaîne de billes prend une forme très irrégulière, et il n’est pas du tout clair qu’il existe une courbe d’interpolation avec une courbure bien définie ! Comment faire alors, puisque le membre de droite de notre équation fait intervenir cette courbure ?

De manière assez surprenante, on savait résoudre ce problème pour l’EDPS d’Allen—Cahn en dimension $1$ depuis une trentaine d’années [FJL], et plus récemment en dimension $2$ [AR,DPD], mais pas en dimension $3$. L’idée est que le couplage des billes avec leurs voisines a pour effet de rendre la solution plus lisse, on parle d’un effet régularisant. Dans le cas unidimensionnel, cet effet suffit à compenser l’irrégularité du bruit, mais en dimension supérieure ce n’est plus le cas (en dimension $2$, des techniques analytiques très sophistiquées permettent encore de s’en sortir).

Croissance de surfaces

Le problème des solutions mal définies est particulièrement vexant dans le cas de modèles de croissance de « surfaces ». Les deux figures ci-dessous montrent des résultats de simulations d’un procédé de croissance aléatoire, qui modélise le dépôt de particules sur un substrat.

Elles ont été obtenues de la manière suivante : on part d’une « surface » plate (qui est en fait une ligne horizontale). Un peu comme dans le jeu Tetris, des particules tombent à des endroits tirés au hasard — sauf qu’ici les particules sont constituées d’un seul carré, et non de quatre carrés comme dans Tetris. Une particule s’arrête dès qu’elle touche une autre particule, soit en dessous, soit latéralement. De plus, les particules les plus hautes ont une petite probabilité de se déplacer latéralement, pour autant que cela n’augmente pas leur altitude. La probabilité de ces déplacements influence la rugosité de la surface : dans l’image de droite, la probabilité plus faible conduit à une surface plus rugueuse.

La simulation suivante, qui correspond à la figure de gauche, montre la croissance de la surface (la frontière des particules déposées) au cours du temps. La couleur des particules change lentement au cours du temps, afin de bien mettre en évidence l’évolution de la surface.

En 1986, Mehran Kardar, Giorgio Parisi, et Yi-Cheng Zhang ont dérivé une EDPS censée décrire l’évolution d’une telle surface [KPZ]. Cette EDPS est appelée aujourd’hui équation KPZ. Malheureusement, cette équation est mal définie, même dans le cas d’une frontière unidimensionnelle ! La raison en est que l’équation KPZ postule que la vitesse de croissance dépend de la pente de la tangente à la surface. Or, comme on le voit dans les simulations, la surface est extrêmement rugueuse, et n’admet donc pas de tangente...

Les structures de régularité de Martin Hairer

Une approche possible pour contourner le problème est la suivante. Comme le bruit n’est pas assez régulier, on l’approche par une fonction plus régulière (on parle de régularisation, ou encore de mollification du bruit). On construit alors une solution de l’équation avec le bruit régularisé, puis on fait de même pour des bruits régularisés de plus en plus proches du vrai bruit, dans l’espoir de pouvoir identifier une solution limite (voir par exemple [BG]).
Cela nécessite en général de soustraire à l’équation une constante qui croît au fur et à mesure qu’on s’approche du vrai bruit, un procédé appelé renormalisation par les physiciens. Le problème est que cette procédure d’approximation n’est pas unique, et qu’il n’est pas clair a priori que différentes approximations conduisent au même résultat !

Pourquoi alors s’obstiner à vouloir définir une notion de solution pour une EDPS ? Après tout, les systèmes d’EDS dont nous sommes partis admettent bien une solution. Une raison est que beaucoup de systèmes d’EDS se comportent, dans la limite des grandes dimensions, comme la même EDPS. De plus, beaucoup d’EDPS, quand on les étudie à grande échelle, ont les mêmes propriétés qualitatives. Les physiciens disent que toutes ces équations appartiennent à la même classe d’universalité. Si l’on parvient à comprendre une seule EDPS de la classe, on comprendra du même coup un grand nombre d’équations dans la même classe.

La théorie des structures de régularité développée par Martin Hairer [H] permet de résoudre les problèmes que nous avons évoqués et de donner un sens à la notion de solution pour une classe très vaste d’EDPS. L’idée, dans les grandes lignes, est de ne pas représenter les solutions par une fonction, mais par un ensemble de fonctions, décrivant la solution à diverses échelles de rugosité. Cette description, qui généralise le principe du développement limité, s’inspire de la théorie des trajectoires rugueuses. Les fonctions à différentes échelles ne sont pas indépendantes, mais doivent satisfaire un ensemble de conditions de compatibilité de nature algébrique. Il est également possible de définir des opérations algébriques telles que le produit de deux de ces objets multi-échelles. Enfin, à l’aide d’idées issues de la théorie des ondelettes, on montre qu’un tel objet correspond à une unique solution « physique ».

A l’aide de structures de régularité appropriées, Martin Hairer est parvenu à donner un sens précis à la notion de solution pour l’équation KPZ, ainsi que pour une variante de l’équation d’Allen—Cahn en dimension $3$ [7]. Son approche s’appuie sur une méthode assez classique, appelée la méthode du point fixe (voir le bloc dépliant ci-dessous), mais dans une version généralisée à la description multi-échelle. La méthode fournit également un choix naturel de renormalisation, qui est tel que la limite obtenue ne dépende pas de la régularisation choisie. En résolvant ces problèmes ouverts difficiles, la théorie a déjà fourni des premiers résultats remarquables, et l’on peut s’attendre à d’autres applications intéressantes dans le futur.

Pour aller plus loin

• Vidéo d’un récent exposé de Martin Hairer à Buenos Aires (en anglais) :

  et les transparents qui vont avec.

• Une introduction aux structures de régularité (version abrégée de [H]).

• Des simulations supplémentaires (avec quelques fichiers non compressés) :
  pour la chaîne de billes, pour l’équation d’Allen—Cahn, et pour le modèle de croissance de surface.

• Quelques explications sur la métastabilité (en anglais).

Bibliographie

[AR]
Albeverio, S. et Röckner, M. (1991), Stochastic differential equations in infinite dimensions : solutions via Dirichlet forms. Probability Theory and Related Fields, 89 : 347–386.

[BG]
Bertini L. et Giacomin G. (1997), Stochastic Burgers and KPZ Equations from Particle Systems. Comm. Math. Phys., 183 : 571–607.

[CP]
Carr, J. et Pego, R. L. (1989), Metastable patterns in solutions of $u_t = \epsilon^2 u_{xx} − f(u)$. Comm. Pure Appl. Math., 42 : 523–576.

[DPD]
Da Prato, G. et Debussche, A. (2003), Strong solutions to the stochastic quantization equations., Ann. Probab., 31 : 1900–1916.

[FJL]
Faris, W. G. et Jona-Lasinio, G. (1982), Large fluctuations for a nonlinear heat equation with noise. J. Phys. A : Math. Gen., 15 : 3025–3055.

[H]
Hairer, M. (2014), A theory of regularity structures. Inventiones Mathematicae 1–236.
Prépublication sur ArXiv.

[KPZ]
Kardar, M., Parisi, G. et Zhang Y.-C. (1986), Dynamic Scaling of Growing Interfaces. Physical Review Letters, 56 : 889–892.